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    三次方程新解法——盛金公式解题法

    2013-7-1 11:15:03 本站原创 佚名 【字体:
    三次方程新解法——盛金公式解题法A new means
    to solving a problem in mathematics
    on the cubic equations in Shengjin’s formulas
    三次方程新解法——盛金公式解题法
    盛金公式与盛金判别法及盛金定理
     

    Shengjin’s Formulas
     
    一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0).
     A=b2-3ac;
    重根判别式:   B=bc-9ad;
    C=c2-3bd,
    总判别式:     Δ=B2-4AC.
     
    当A=B=0时,盛金公式①:
    Shengjin’s Formula①: WhenA=B=0, 
    X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c.
     
    当Δ=B2-4AC>0时,盛金公式②:
    Shengjin’s Formula②: WhenΔ=B2-4AC>0,
    X1=(-b-Y11/3-Y21/3)/(3a);
    X23=(-2b+Y11/3+Y21/3±31/2 (Y11/3-Y21/3)i)/(6a),
    其中Y12=Ab+3a (-B±(B2-4AC)1/2)/2,  i2=-1.
     
    当Δ=B2-4AC=0时,盛金公式③:
    Shengjin’s Formula③: WhenΔ=B2-4AC =0,
    X1=-b/a+K; 
    X2=X3=-K/2,  
    其中K=B/A,  (A≠0).
     
    当Δ=B2-4AC<0时,盛金公式④:
    Shengjin’s Formula④: WhenΔ=B2-4AC<0,
    X1= (-b-2A1/2cos(θ/3) )/(3a) ;
    X23= (-b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a),
    其中θ=arccosT, T= (2Ab-3aB)/(2A3/2),  (A>0,-1<T<1).
     
     
     
     

    Shengjin’s Distinguishing Means
     
    ①:当A=B=0时,方程有一个三重实根
    ②:当Δ=B2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根
    ③:当Δ=B2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个?#34903;?#26681;
    ④:当Δ=B2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
     
    定 理
    Shengjin’s Theorems
     
    当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;
    当A=0时,盛金公式③无意义;
    当A≤0时,盛金公式④无意义;
    当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。
    当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在
    A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?
    盛金定理给出如下回答:
    盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。
    盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。
    盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。
    盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
    盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
    盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。
    盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。
    盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。
    盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的?#24403;?#23450;是-1<T<1。
    显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。
    注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。
    盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。?#25105;?#23454;系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
     
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